Парадокс Монті Холла

Парадокс Монті Холла
Парадокс Монті Холла

Парадокс Монті Холла (названий на честь ведучого американської телегри «Let’s Make a Deal») – одна з задач теорії ймовірностей, рішення якої з першого погляду суперечить здоровому глузду.

Найбільш поширене формулювання цього завдання, опубліковане в 1990 році в журналі Parade Magazine, звучить наступним чином:

Уявіть, що ви учасник гри, в якій потрібно вибрати одну з трьох дверей. За однією з дверей знаходиться автомобіль, за двома іншими – кози. Ви вибираєте одну з дверей (наприклад, №1). Ведучий, який знає, за якими дверима знаходиться автомобіль і за якими кози, відкриває одну з дверей, за якою знаходиться коза (наприклад, №3) і запитує у вас, чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати двері №2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?

Після публікації відразу з’ясувалося, що задача сформульована некоректно: не всі умови обумовлені в повному обсязі. Наприклад, ведучий може дотримуватися стратегії «пекельного Монті»: пропонувати змінити вибір тільки тоді, коли гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що в такій ситуації зміна початкового вибору приведе до гарантованого програшу.

Найбільш популярним є завдання з додатковою умовою – учаснику гри заздалегідь відомі наступні правила:

  • автомобіль розміщений за будь-якими з трьох дверей;
  • ведучий в будь-якому випадку зобов’язаний відкрити двері з козою, але не ті, які вибрав гравець, і запропонувати гравцеві змінити свій вибір;
  • якщо у ведучого є вибір, які з двох дверей відкрити, він вибирає будь-які з них з однаковою ймовірністю.

    Парадокс Монті Холла
    Стратегія виграшу або парадокс Монті Холла

Стратегія виграшу: ви виграєте при умові, якщо перші вибрані двері були програшними і ви змінили свій вибір після дій ведучого. Ймовірність виграшу дорівнює 2/3, бо вибрати програшні двері можна 2 способами з 3.

Але часто при вирішенні цього завдання учасник міркує приблизно так: в підсумку ведучий завжди прибирає одні з програшних дверей, і тоді незалежно від початкового вибору ймовірність виграти автомобіль дорівнює ½. Але це неправильно: хоча можливість вибору дійсно залишається одна з двох, ці можливості (з урахуванням передісторії) не є рівноімовірними, оскільки з самого початку всі двері мали рівні шанси бути виграшними, але потім мали різні ймовірності бути виключеними.

Для більшості людей цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю ситуації, завдяки чому і виникає парадокс Монті Холла або невідповідність між логічним висновком і відповіддю, до якої інтуїтивно схиляється думка гравця.

Ще більш наочною стає ситуація з дверима, якщо уявити, що дверей не 3, а, скажімо, 1000, і після вибору гравця ведучий прибирає 998 зайвих, залишаючи 2 дверей: ті, які вибрав гравець, і ще одні. Звісно ж є очевидним, що ймовірність знаходження призу за цими дверима різна, і не дорівнює ½. Якщо в цей час змінити свій вибір, то ми програємо тільки в тому випадку, якщо на самому початку були вибрані призові двері, ймовірність чого 1: 1000. І виграємо, якщо початковий наш вибір був неправильним, а ймовірність цього була 999 з 1000. У випадку з 3 дверима логіка зберігається, але ймовірність виграшу при зміні рішення відповідно нижче, а саме 2/3.

Інший спосіб міркування – заміна умови еквівалентним. Уявімо, що замість здійснення гравцем початкового вибору (нехай це будуть завжди двері № 1) і подальшого відкриття ведучим дверей з козою серед решти (тобто завжди серед дверей № 2 і № 3), що гравцеві потрібно вгадати двері з першої спроби, але йому попередньо повідомляють, що за дверима № 1 автомобіль може бути з вихідної ймовірністю (33%), а серед решти дверей вказується за якими з дверей автомобіля точно немає (0%). Відповідно, на останні двері завжди буде припадати 67%, і стратегія їх вибору найкраща.

Класична версія парадоксу Монті Холла стверджує, що ведучий обов’язково запропонує гравцеві змінити двері, незалежно від того, вибрав він машину чи ні. Але можлива і більш складна поведінка ведучого. У цій таблиці коротко описано кілька варіантів поведінки ведучого.

Поведінка ведучого Результат
1. «Пекельний Монті»: ведучий, якщо двері правильні, завжди пропонує змінити вибір. Зміна завжди дасть козу.
2. «Ангельський Монті»: ведучий пропонує змінити вибір, якщо вибрані невиграшні двері. Зміна завжди дасть автомобіль.
3. «Недосвідчений Монті» або «Монті Бух»: ведучий випадково падає, відчиняються двері, і виявляється, що за ними не машина. Іншими словами, ведучий не знає, що за дверима, відкриває двері повністю навмання, і тільки випадково за ними не виявилося автомобіля. Зміна дає виграш в ½ випадків. Саме так влаштовано американське шоу «Deal or No Deal» – правда, випадкові двері відкриває сам гравець, і, якщо за ними немає автомобіля, ведучий пропонує змінити.
4. Ведучий вибирає одну з кіз і відкриває її, якщо гравець вибрав інші двері. Зміна дає виграш в ½ випадків.
5. Ведучий завжди відкриває козу. Якщо обраний автомобіль, ліва коза відкривається з ймовірністю p і права з ймовірністю q = 1-p. Якщо ведучий відкрив ліві двері, зміна дає виграш з імовірністю 1/(1 + p). Якщо праві – 1/(1 + q). Але гравець ніяк не може вплинути на ймовірність того, чи будуть відкриті праві двері – незалежно від його вибору це станеться з ймовірністю (1 + q)/3.
6. Те ж саме, p = q = ½ (класичний випадок). Зміна дає виграш з імовірністю 2/3.
7. Те ж саме, p = 1, q = 0 ( «безсилий Монті» – втомлений ведучий стоїть у лівих дверей і відкриває ту козу, яка ближче). Якщо ведучий відкрив праві двері, зміна дає гарантований виграш. Якщо ліві – ймовірність ½.
8. Ведучий відкриває козу завжди, якщо обраний автомобіль, і з імовірністю ½ в іншому випадку. Зміна дає виграш з імовірністю ½.
9. Загальний випадок: гра повторюється багато разів, ймовірність заховати автомобіль за тими чи іншими дверима, а також відкрити ті чи інші двері довільна, проте ведучий знає, де автомобіль, і завжди пропонує зміну, відкриваючи одну з кіз. Рівновага Неша: для ведучого вигідніше саме парадокс Монті Холла в класичному вигляді (імовірність виграшу 2/3). Автомобіль заховано за будь-якими дверима з ймовірністю ⅓; якщо є вибір, відкривається будь-яка коза навмання.
9. Те ж саме, але ведучий може не відкривати двері взагалі. Рівновага Неша: ведучому вигідно не відкривати двері, ймовірність виграшу ⅓.

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*