Знову цікаві парадокси

Знову цікаві парадокси

Парадокс сиру і дірок,
Парадокс днів народження,
Парадокс убитого дідуся,
Проблема курки і яйця,
Корабель Тесея,
Парадокс ощадливості,
Парадокс Піноккіо,
Парадокс цирульника,
Парадокс Галілея.

Деякі парадокси навіть після сотень років напруженої розумової праці математиків, філософів та економістів здаються невирішуваними. Хто знає, можливо саме вам вдасться сформулювати рішення однієї з цих задач.

Парадокс сиру і дірок. «Чим більше сиру, тим більше в ньому дірок!!! Але чим більше дірок, тим менше сиру!!! Отже, чим більше сиру, тим менше сиру?»! – це і є парадокс.

Несподіваний висновок, який призводить до взаємовиключення, але в рівній мірі доказових результатів розходиться з загальноприйнятими переконаннями або навіть зі здоровим глуздом. Це міркування вважається логічно правильним, але здається, що з нього неможливо знайти вихід.

Парадокс днів народження. Парадокс полягає в наступному: якщо існує група з 23-х або більше людей, ймовірність того, що дні народження (число і місяць) у двох з них співпадуть, перевищує 50%. Для групи з 60-ти осіб шанс становить понад 99%. Досягнути 100% можна, якщо в групі не менше 367 осіб (з врахуванням високосних років).

Знову цікаві парадокси
Принцип Діріхле

Парадокс днів народження або принцип Діріхле, названий за ім’ям його відкривача Петера Густава Діріхле (німецький математик). Це твердження не суперечить логіці і тому не може бути парадоксом, але воно демонструє різницю результатів інтуїтивного підходу та математичних розрахунків, адже на перший погляд для невеликої групи ймовірність збігу здається сильно завищеною.

Якщо розглядати кожного члена групи окремо, оцінюючи ймовірність збігу його народження з чиїмось іншим, для кожної людини шанс складає приблизно 0,27%.

Таким чином, загальна ймовірність для всіх членів групи повинна дорівнювати близько 6,3% (23/365). Але це в корені неправильно: виходячи з формули обчислення числа сполучень з даної множини, кількість можливих варіантів вибору певних пар з 23-х людей набагато вище числа її членів (23×22)/2 = 253. Для 253-х варіантів пар шанс, що дата народження учасників однієї з них виявиться однаковою, значно більший і дорівнює 6,3%.

Парадокс убитого дідуся. в 1943-му р. запропонував французький фантаст Рене Баржавель в своїй книзі «Необережний мандрівник» («Le Voyageur Imprudent»).

Припустимо, ви на машині часу відправилися в минуле. Якщо ви зустрінете там свого дідуся і вб’єте його до того, як він зустрінеться з вашою бабусею? Ймовірно, не всім сподобається такий опис подій, тому можна уявити, що ви відвернете зустріч дідуся і бабусі, відвезете його, наприклад, на інший кінець світу. Парадокс від цього не зникає.

Якщо зустріч не відбудеться, ваш батько або мати не з’являться на світ, тому не зможуть вас народити, а ви відповідно не потрапите в минуле.

Знову цікаві парадокси
Рене Баржавель «Необережний мандрівник»

Тому дідусь обов’язково безперешкодно одружиться на бабусі, у них народиться один з ваших батьків. Історія парадоксу застосовується вченими як доказ принципової неможливості подорожей у часі, проте деякі фахівці вважають, що за певних умов парадокс може бути цілком вирішеним. Наприклад, убивши свого дідуся, мандрівник у часі створить версію реальності, в якій він (мандрівник у часі) існує, але він не народжений.

Багато хто припускає, що навіть потрапивши в минуле, мандрівник не зможе на нього вплинути, так як це призведе до зміни майбутнього, частиною якого він є, тобто до зміни самого себе. Тому спроба «вбивства» дідуся завідомо приречена на провал: якщо онук існує, його дід пережив «замах».

Проблема курки і яйця. «Що з’явилося раніше – курка чи яйце?». Варто відзначити, що в класичному варіанті якраз йдеться про птаха і яйце, але і воно не допускає легкого рішення. Наприклад, динозаври, що з’явилися набагато раніше птахів, теж відкладали яйця. Тому проблему можна сформулювати таким чином: що з’явилося раніше – перша тварина, що відкладала яйця, або її яйце, адже повинен був вилупитися представник нового виду. Причинно-наслідковий зв’язок між явищами нечіткого обсягу.

Знову цікаві парадокси
Проблема курки і яйця

Для більшого розуміння цього явища можна ознайомитися з принципами нечіткої логіки – узагальнення класичної логіки і теорії множин. Тварини на різних еволюційних етапах відкладали різні об’єкти, які не можна визначити як яйця, але вони мають з ними деяку схожість. Об’єктивного вирішення цієї проблеми не існує, хоча британський філософ Герберт Спенсер запропонував такий варіант: «Курка – лише спосіб, яким одне яйце виробляє інше яйце».

Корабель Тесея. Назва парадокса походить від одного з грецьких міфів, в якому описано подвиги Тесея, афінського царя. Згідно з легендою, кілька сотень років зберігався корабель, на якому Тесей повернувся з острова Крит в Афіни. Судно поступово старішало, тому теслі замінювали прогнилі дошки на нові. В результаті реконструкцій у корабля Тесея не залишилося ні шматочка старої деревини.

Знову цікаві парадокси
Парадокс корабля Тесея

Томас Гоббс, Джон Локк і інші філософи світу століттями розмірковували, чи можна вважати, що саме на цьому судні подорожував колись Тесей. Суть парадоксу полягає в наступному: якщо всі частини об’єкта замінити на нові, може він бути тим же самим об’єктом?

Тому виникає ще одне питання – якщо зі старих частин зібрати такий же об’єкт, який із двох буде «тим самим»? Деякі суперечності в можливих рішеннях парадоксу досі існують. До речі, якщо врахувати, що клітини організму людини практично повністю оновлюються через кожні сім років, чи можна вважати, що ми бачимо в дзеркалі ту ж саму людину, що і сім років тому?

Парадокс ощадливості. Парадокс, який вперше описали Уодділ Кетчінгс і Вільям Фостер, виглядає таким чином: «Чим більше ми відкладаємо на чорний день, тим швидше він настане». Тобто під час економічного спаду велика частина населення починає економити, знижується загальний попит на товари, це в свою чергу призводить до зменшення заробітку і як наслідок – падіння економії і скорочення заощаджень. Замкнуте коло – споживачі витрачають менше грошей, цим погіршують свій же добробут. Парадокс ощадливості з аналогічних проблем нагадує теорію ігри «дилема ув’язненого»: дії, які вигідні кожному учаснику ситуації окремо, шкідливі для ігроків в цілому.

Знову цікаві парадокси
Парадокс ощадливості

Парадокс Піноккіо. Парадокс Піноккіо (парадокс брехуна) можна виразити словами «Це твердження – брехня» або «Я брешу». У варіанті з парадоксом Піноккіо проблема сформульована так: «Мій ніс зараз росте». Протиріччя в тому, що якщо твердження правдиве і ніс дійсно росте, одночасно означає, що в даний момент творіння папи Карла бреше. Ніс рости не повинен, якщо Піноккіо говорить правду. Але якщо це не відповідає дійсності і висловлювання все ж таки правдиве в свою чергу свідчить, що Піноккіо бреше… і так далі – ланцюжок взаємовиключних причин і наслідків можна продовжити до нескінченності.

Парадокс брехуна показує протиріччя в розмовній мові між висловлюванням і формальною логікою. З точки зору класичної логіки проблема нерозв’язна, тому твердження «Я брешу» взагалі вважається не логічним.

Знову цікаві парадокси
Парадокс Піноккіо

Парадокс цирульника. Парадокс цирульника, який можна вважати однією з форм парадоксу брехуна, відкрив знаменитий британський філософ і математик Бертран Рассел. Припустимо, на перукарні ви побачили рекламне оголошення: «Ви голитеся самі? Якщо ні, ласкаво просимо голитися! Голю всіх, хто не голиться сам, і нікого іншого!». Постає питання: хто голить цирульника, якщо він голить лише тих, хто не голиться самостійно?

Знову цікаві парадокси
Парадокс цирульника

Найлегше припустити, що недалекий перукар просто не подумав про протиріччя, що міститься в його оголошенні, але спробувати зрозуміти суть цього протиріччя набагато цікавіше, правда для цього доведеться поринути в математичну теорію множин: «Нехай K – множина всіх множин, яка не містить в собі якостей власного елемента.

Чи містить множина K саму себе в якості власного елемента? Якщо так, це спростовує твердження, що множини в складі K – множини «не містять себе в якості власного елемента».

Якщо ж не містить, виникає протиріччя, що множина K є безліччю всіх множин, які не містять себе як власний елемент, тобто K повинно містити всі можливі елементи, включаючи себе».

Проблема виникла і через те, що Рассел в міркуваннях використав поняття «множина всіх множин» (яке саме є досить суперечливим) і при цьому керувався законами класичної логіки, які можна застосовувати не у всіх випадках.

Відкриття парадокса цирульника спровокувало суперечки в різних наукових колах. Для «порятунку» теорії множин математики розробили кілька систем аксіом, але доказів несуперечності цих систем немає.

Парадокс Галілея. Феномен, відкритий Галілео Галілеєм, демонструє суперечливі властивості нескінченних множин. Формулювання парадоксу: натуральних чисел стільки ж, скільки їх квадратів. Тобто, нескінченна кількість елементів 1, 2, 3, 4… дорівнює нескінченній кількості квадратів цих елементів 1, 4, 9, 16…

На перший погляд, ніякого протиріччя тут немає, але у своїй роботі «Дві науки» Галілей стверджує: деякі числа вже є точними квадратами (з них можна витягти цілий квадратний корінь), а інші ні. Тому точних квадратів разом із звичайними числами повинно бути більше, ніж одних точних квадратів.

Знову цікаві парадокси
Парадокс Галілея

Між тим, раніше в «науці» існував постулат, що квадратів натуральних чисел стільки ж, скільки самих натуральних чисел. Сам Галілей вважав, що парадокс можна вирішити тільки стосовно кінцевих множин. Проте Георг Кантор, німецький математик XIX-го ст., розробив теорію множин, згідно з якою другий постулат Галілея об однаковій кількості елементів правильний і для нескінченних множин. Для цього Кантор вводить поняття потужність множини, яка для обох нескінченних множин при розрахунках збігається.

Залишити відповідь